Algèbre : Chapitres 1 à 3 by N. Bourbaki

By N. Bourbaki

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En saturant une partie A c G pour ces relations (E, II, p. 44), on obtient respectivement les ensembles AH et HA. L'application xi-> x-1 transforme classes à gauche modulo H en classes à droite modulo H et réciproquement. 34 STRUCTURES ALGÉBRIQUES §4 Le cardinal de l'ensemble des classes à gauche (modulo H) s'appelle l'indice du sous-groupe H par rapport à G, et on le désigne par la notation (G:H) ; il est aussi égal au cardinal de l'ensemble des classes à droite. Si un sous-groupe K de G contient H, il est réunion de classes à gauche (ou à droite) suivant H.

26 §3 STRUCTURES ALGÉBRIQUES Soit E un magma et soit R une relation d'équivalence sur E. On dit que R est compatible à gauche (resp. à droite) avec la loi de E si elle est compatible avec l'action à gauche (resp. à droite) de E sur lui-même déduite de la loi de E. Pour que R soit compatible avec la loi de E, il faut et il suffit qu'elle soit compatible à gauche et à droite avec la loi de E. Nous laissons au lecteur le soin d'énoncer et de démontrer les analogues des prop. 6, 7 et 8 de I, p. Il.

Soient x, y et z trois entiers rationnels; on a x y si et seulement si x + z y + z. En effet x — y = (x + z) — (y + z). On exprime cette propriété en disant que la relation d'ordre de Z est invariante par translation. 6. Applications: II. Multiplication des entiers rationnels Lemme 2. — Soient E un monoïde et x un élément de E. (i) Il existe un unique homomorphisme f de N dans E tel que f (1) = x, et l'on a f (x) = x pour tout n EN. (ii) Si x est inversible, il existe un unique homomorphisme g de Z dans E tel que g(1) = x et g coïncide avec f dans N.

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