Algèbre: Chapitre 4 à 7 by N. Bourbaki

By N. Bourbaki

Les Éléments de mathématique de Nicolas Bourbaki ont pour objet une présentation rigoureuse, systématique et sans prérequis des mathématiques depuis leurs fondements.

Ce deuxième quantity du Livre d Algèbre, deuxième Livre des Éléments de mathématique, traite notamment des extensions de corps et de l. a. théorie de Galois. Il comprend les chapitres: four. Polynômes et fractions rationnelles; five. Corps commutatifs; 6. Groupes et corps ordonnés; 7. Modules sur les anneaux principaux.

Il contient également des notes historiques.

Ce quantity est une nouvelle édition parue en 1981.

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Alors + E A[(Xi)icil n +(u> V . Cela prouve que $ est continu si l'on munit A[(X,),,,] de la topologie induite par celle de A[[I]]. Comme E est séparée et complète, se prolonge en un homomorphisme unifère continu cp de A[[I]]dans E. On a cp(Xi) = +(Xi) = x i pour tout i t 1. Enfin, soit cp' un homomorphisme unifère continu de A[[I]]dans E tel que cpt(Xi) = xi. On a

Soit Ap(M, N) le A-module des applications de M dans N. Le sous-module 1PolA(M, N) qbO de Ap(M, N) se note PolA(M,N), ou simplement Pol(M, N) ; ses éléments s'appellent les applications polynomiales de M dans N. Soit (e,),,, une base de M, et supposons 1 fini; d'après la prop. 13 (IV, p. 51), une application f de M dans N est polynomiale si et seulement s'il existe un polynôme F a coefficients dans N en les indéterminées Xi tel que l'on ait pour toute famille x = (xi)i,, dans A'". Cette propriété est indépendante de la base choisie de M et justifie la terminologie <( application polynomiale D.

MA- ,Xn- . Les hypothèses du lemme entraînent que g(a,) = ... = g(an) = O, donc g = O d'après l'hypothèse de récurrence, d'où f = 0. PROPOSITION 19. - Soient M un A-module libre, N un A-module, G un sous-groupe additif infini de A. On suppose que les homothéties de N définies par les éIéments non nuls de G sont injectives. Alors Pol(M, N) est somme directe des PolyM, N). , fn tels que fi E Poli(M, N). Supposons qu'on ait la relation f, ... fn = O. Soit x E M. Pour tout 3L E G, on a + + n D'après le lemme 2, appliqué au polynôme 1 fi(x) Xi, on a i=O fo(x) = ...

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